证f(x)=e^x和f(x)=Inx是否满足[f(x1)+f(x2)]/2 >f((x1+x2) /2)

不知你的学力,证明过程需要用到拉格朗日中值定理,
如果学了导数的话可以这样证明:
不妨设x1<x2,不影响结论的正确性,如果是x1>x2只需将下面的所有x1换成x2,x2换成x1证明即可.
f(x)=e^x,
则
f[(x1+x2)/2]-f[x1]............①
=f'[ξ1]((x1+x2)/2-x1)
=f'[ξ1]((x2-x1)/2),
其中ξ1是设出来的一个量,x1≤ξ1≤(x1+x2)/2
f'(x)=e^x,显然它在整个定义域内是增函数,于是
x1<ξ1<(x1+x2)/2.

f[x2]-f[(x1+x2)/2]............②
=f'[ξ2](x2-(x1+x2)/2)
=f'[ξ2]((x2-x1)/2),
其中ξ2是设出来的一个量,(x1+x2)/2≤ξ2≤x2
f'(x)=e^x,显然它在整个定义域内是增函数,于是
(x1+x2)/2<ξ2<x2.

②-①得
等式左边
=(f[x2]-f[(x1+x2)/2])-(f[(x1+x2)/2]-f[x1])
=(f[x2]+f[x1])-2×f[(x1+x2)/2]

等式右边
=(f'[ξ2]((x2-x1)/2))-(f'[ξ1]((x2-x1)/2))
=(f'[ξ2]-f'[ξ1])((x2-x1)/2)
考虑到ξ1<(x1+x2)/2<ξ2,而且f'[x]是增函数,所以(f'[ξ2]-f'[ξ1])>0,
又考虑到x2>x1,所以(x2-x1)/2>0,
所以等式右边大于0,
于是等式左边也大于0.
即(f[x2]+f[x1])-2×f[(x1+x2)/2]>0
于是(f[x2]+f[x1])>2×f[(x1+x2)/2]
(f[x2]+f[x1])/2